Алгебра Примеры

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Этап 1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Этап 1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Этап 2

Каждый член в $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ на $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $2$ влево от $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Этап 2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \log (x + y)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим $2 \log (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Этап 4.1.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Этап 4.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Этап 4.1.4

Перенесем $4$ влево от $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вычтем $4 x y$ из обеих частей уравнения.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Этап 6.1.2.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Этап 6.1.3

Вычтем $4 x y$ из $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Этап 6.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 y$ и $c = y^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Перепишем $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ в виде ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 2 y$ и $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.1.1

Вынесем множитель $2 y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.1.2

Вынесем множитель $2 y$ из $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.1.3

Вынесем множитель $2 y$ из $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.3.1

Умножим $0$ на $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.3.2

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.4

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.5

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.5.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.6

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.3.7.1

Умножим $0$ на $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.3.7.2

Умножим $0$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.1.6

$2 y$ плюс или минус $0$ равно $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Этап 6.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 y}{2}$

Этап 6.4.3.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x = y$

Этап 6.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $x = y$