Алгебра Примеры

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Этап 2

Чтобы записать $\log_{12} (n + 14)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\log_{12} (n + 14)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Этап 4

Перенесем $2$ влево от $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Этап 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Упростим $2 \log_{12} (n + 14)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Этап 5.1.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Этап 5.1.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Этап 5.1.2

Перепишем $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Этап 5.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Применим правило умножения к $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.4.2

Применим правило умножения к $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.7

Найдем экспоненту.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.8

Перемножим экспоненты в ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.9

Упростим.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.1

Умножим $2$ на $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Этап 5.1.11.2

Перемножим экспоненты в ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Этап 5.1.11.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Этап 5.1.11.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Этап 5.1.12

Упростим.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Этап 5.1.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Этап 5.1.14

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.14.1

Перенесем $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Этап 5.1.14.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Этап 6

Перепишем $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Этап 7

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Этап 7.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Этап 7.3

Вычтем $144$ из обеих частей уравнения.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Этап 7.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Этап 7.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Этап 7.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Этап 7.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Этап 7.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Этап 7.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Разложим $n^{2} + 14 n - 72$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 72$ , а сумма — $14$ .

$- 4, 18$

Этап 7.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Этап 7.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Этап 7.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Этап 7.6

Приравняем $n - 4$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Приравняем $n - 4$ к $0$ .

$n - 4 = 0$

Этап 7.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$n = 4$

Этап 7.7

Приравняем $n + 18$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $n + 18$ к $0$ .

$n + 18 = 0$

Этап 7.7.2

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$n = - 18$

Этап 7.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ верно.

$n = 4, - 18$

Этап 8

Исключим решения, которые не делают $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ истинным.

$n = 4$