Алгебра Примеры

$arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$

Этап 1

Решим относительно $\sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\arctan (x)$ из обеих частей уравнения.

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{π}{2} - \arctan (x)$

Этап 1.2

Перепишем уравнение в виде $\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$

Этап 1.3

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Разделим каждый член $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.4.2.2

Разделим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\arctan (x) = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot arccot (\sqrt{x})$ в виде $- arccot (\sqrt{x})$ .

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Этап 1.4.3.1.4

Разделим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}$

Этап 1.5

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sqrt{x}$ из арктангенса.

$x = \tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2})$

Этап 1.6

Перепишем уравнение в виде $\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$ .

$\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$

Этап 1.7

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $arccot (\sqrt{x})$ из тангенса.

$- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2} = \arctan (x)$

Этап 1.8

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$

Этап 1.9

Разделим каждый член $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Разделим каждый член $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- arccot (\sqrt{x})}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{arccot (\sqrt{x})}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.9.2.2

Разделим $arccot (\sqrt{x})$ на $1$ .

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.9.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \arctan (x)$ в виде $- \arctan (x)$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Этап 1.9.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Этап 1.9.3.1.4

Разделим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{π}{2}$

Этап 1.10

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\sqrt{x}$ from inside the arccotangent.

$\sqrt{x} = \cot (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$ из обеих частей уравнения.

$x - \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2}) = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Переставляем члены.

$x - \cot^{2} (\frac{π}{2} - \arctan (x)) = 0$

Этап 4.2.2

Применим формулу для разности углов.

$x - {(\frac{\cot (\frac{π}{2}) \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$x - {(\frac{0 \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.2

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, x)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\arctan (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, x)$ . Следовательно, $\cot (\arctan (x))$ равно $\frac{1}{x}$ .

$x - {(\frac{0 (\frac{1}{x}) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.3

Умножим $0$ на $\frac{1}{x}$ .

$x - {(\frac{0 + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Этап 4.2.3.4

Добавим $0$ и $1$ .

$x - {(\frac{1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - 0})}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} + 0})}^{2} = 0$

Этап 4.2.4.4

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x}})}^{2} = 0$

Этап 4.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x - {(1 x)}^{2} = 0$

Этап 4.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$x - x^{2} = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 4.6.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$ истинным.

$x = 1$