Алгебра Примеры

${(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3}{5} i)}^{2}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $i$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем ${(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})}^{2}$ в виде $(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$

Этап 2

Развернем $(\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5}}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5}) + \frac{3 i}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{5}$ на $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.1.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.1.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.1.6

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5^{1}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.4

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{5}$ на $\frac{3 i}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5} (3 i)}{5 \cdot 5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5} (3 i)}{25} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.5

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.6

Умножим $\frac{3 i}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $\frac{3 i}{5}$ на $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.6.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$

Этап 3.1.7

Умножим $\frac{3 i}{5} \cdot \frac{3 i}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Умножим $\frac{3 i}{5}$ на $\frac{3 i}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{3 i (3 i)}{5 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i i}{5 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 (i^{1} i)}{5 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{5 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i^{2}}{5 \cdot 5}$

Этап 3.1.7.7

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 i^{2}}{25}$

Этап 3.1.8

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Этап 3.1.9

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{- 9}{25}$

Этап 3.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{5} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} - \frac{9}{25}$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $25$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 5} - \frac{9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 3.3.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{5}{25} - \frac{9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - 9}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 3.5

Вычтем $9$ из $5$ .

$\frac{- 4}{25} + \frac{3 \sqrt{5} i}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25} + \frac{3 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4}{25} + \frac{6 i \sqrt{5}}{25}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{25} + \frac{6 i \sqrt{5}}{25}$