Алгебра Примеры

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

Этап 1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

Этап 2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

Этап 2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

Этап 2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

Этап 3

Разделим каждый член $y^{2} (x + 3) = x - 1$ на $x + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $y^{2} (x + 3) = x - 1$ на $x + 3$ .

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ в виде $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ на $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

Этап 5.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ на $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

Этап 5.3.2

Возведем $\sqrt{x + 3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

Этап 5.3.3

Возведем $\sqrt{x + 3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

Этап 5.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

Этап 5.3.6

Перепишем ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

Этап 5.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Этап 5.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 8.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 8.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 8.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ верно.

$x = 1, - 3$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $21$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $21$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x \geq 1$

Этап 9

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 3 = 0$

Этап 10

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 11

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 3, x \geq 1}$

Этап 12

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq 1, - 1}$

Этап 13

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

Диапазон: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

Этап 14