Алгебра Примеры

$\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}} = 5 x^{7}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}})$ в виде $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}})$ .

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}$ в виде ${(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{25 x^{k}}$ в виде ${(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.4

Развернем $\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.5

Развернем $\ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.6

Перепишем $\ln (5 x^{k + 1})$ в виде $\ln (5) + \ln (x^{k + 1})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + \ln (x^{k + 1})) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.7

Развернем $\ln (x^{k + 1})$ , вынося $k + 1$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.8

Перепишем $\ln (25 x^{k})$ в виде $\ln (25) + \ln (x^{k})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + \ln (x^{k})) = \ln (5 x^{7})$

Этап 2.9

Развернем $\ln (x^{k})$ , вынося $k$ из логарифма.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + 1 \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.1.2

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} (k \ln (x) + \ln (5 x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} (k \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.4

Умножим $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.4.1

Объединим $k$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.4.2

Объединим $\frac{k}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (5 x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (25) + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (25)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.8

Умножим $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.8.1

Объединим $k$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k}{3} \ln (x) = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.1.8.2

Объединим $\frac{k}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x) + \ln (25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x \cdot 25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.4

Умножим $25$ на $5$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (125 x) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.5

Добавим $k \ln (x)$ и $k \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Этап 3.1.6

Разобьем дробь $\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3}$ на две дроби.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Этап 4

Каждый член в $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ умножим на $3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ на $3$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Этап 4.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Этап 4.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Этап 4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $3$ влево от $\ln (5 x^{7})$ .

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = 3 \ln (5 x^{7})$

Этап 5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) - 3 \ln (5 x^{7}) = 0$

Этап 6

Перенесем все члены без $k$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $\ln (125 x)$ из обеих частей уравнения.

$2 k \ln (x) - 3 \ln (5 x^{7}) = - \ln (125 x)$

Этап 6.2

Добавим $3 \ln (5 x^{7})$ к обеим частям уравнения.

$2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$

Этап 7

Разделим каждый член $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ на $2 \ln (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ на $2 \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Этап 7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Этап 7.2.2.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k = - \frac{\ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$