Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} - 1}{2} - 11 x = 11$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{2} - 11 x = 11$

Этап 1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x = 11$

Этап 1.2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x - 11 = 0$

Этап 2

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 11 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} - 11 x \cdot \frac{2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.2

Объединим $- 11 x$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{- 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{(x + 1) (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (\frac{x^{2} - x + x - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$2 (\frac{x^{2} + 0 - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 - 11 x \cdot 2}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 11$ .

$2 (\frac{x^{2} - 1 - 22 x}{2} - 11) = 0$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} - 11) = 0$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 11$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} - 11 \cdot \frac{2}{2}) = 0$

Этап 2.6

Объединим $- 11$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1}{2} + \frac{- 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2}{2}) = 0$

Этап 2.8.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 22 x - 1 - 11 \cdot 2 = 0$

Этап 2.9

Умножим $- 11$ на $2$ .

$x^{2} - 22 x - 1 - 22 = 0$

Этап 2.10

Вычтем $22$ из $- 1$ .

$x^{2} - 22 x - 23 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 22$ и $c = - 23$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 23)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 22$ в степень $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot - 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 23$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 92}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Добавим $484$ и $92$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{22 \pm 24}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{22 \pm 24}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{22 \pm 24}{2}$ .

$x = 11 \pm 12$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 23, - 1$