Алгебра Примеры

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\sin^{4} (x)$ в виде ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Этап 2.2

Перепишем $\cos^{4} (x)$ в виде ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin^{2} (x)$ и $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим формулу Пифагора.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Этап 2.4.2

Умножим $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 2.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sin (x)$ и $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Этап 3.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ — тождество