Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 2.4

Умножим $\frac{1}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Этап 2.5

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3.2.2

Добавим $x^{2} + x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 3.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 1}{x - 1}$