Алгебра Примеры

$\frac{x}{x + 6} + \frac{2 x + 7}{6 - x} = \frac{1}{x - 6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 6, 6 - x, x - 6$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 6$ является само значение $x + 6$ .

$(x + 6) = x + 6$

$(x + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $6 - x$ является само значение $6 - x$ .

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 6$ является само значение $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 6, 6 - x, x - 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 6) (6 - x) (x - 6)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{x + 6} + \frac{2 x + 7}{6 - x} = \frac{1}{x - 6}$ умножим на $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 6} + \frac{2 x + 7}{6 - x} = \frac{1}{x - 6}$ на $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$\frac{x}{x + 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$\frac{x}{x + 6} ((x + 6) ((6 - x) (x - 6))) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x + 6} ((x + 6) ((6 - x) (x - 6))) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x ((6 - x) (x - 6)) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$x ((- 1 (- 6) - x) (x - 6)) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$x ((- 1 (- 6) - (x)) (x - 6)) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 6) - (x)$ .

$x (- 1 (- 6 + x) (x - 6)) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.5

Изменим порядок членов.

$x (- 1 (x - 6) (x - 6)) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.6

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 6)}^{1} (x - 6))) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.7

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$x (- 1 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- 1 {(x - 6)}^{1 + 1}) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$x (- 1 {(x - 6)}^{2}) + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 6)}^{2} + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.11

Сократим общий множитель $6 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.11.1

Вынесем множитель $6 - x$ из $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((6 - x) ((x + 6) (x - 6))) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.11.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 6)}^{2} + \frac{2 x + 7}{6 - x} ((6 - x) ((x + 6) (x - 6))) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.11.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) ((x + 6) (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.12

Развернем $(x + 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x (x - 6) + 6 (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.13

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.13.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 6$ и $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.13.2

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x \cdot x + 0 + 6 \cdot - 6) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.13.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x \cdot x + 6 \cdot - 6) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.14.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x^{2} + 6 \cdot - 6) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.14.2

Умножим $6$ на $- 6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + (2 x + 7) (x^{2} - 36) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.15

Развернем $(2 x + 7) (x^{2} - 36)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x (x^{2} - 36) + 7 (x^{2} - 36) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 36 + 7 (x^{2} - 36) = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 36 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 36 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.16.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.16.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 36 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 36 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.16.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot - 36 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 36 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 36 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 36 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 36 + 7 x^{2} + 7 \cdot - 36 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.2

Умножим $- 36$ на $2$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} + 7 \cdot - 36 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.3

Умножим $7$ на $- 36$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = \frac{1}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 6$ из $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = \frac{1}{x - 6} ((x - 6) ((x + 6) (6 - x)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = \frac{1}{x - 6} ((x - 6) ((x + 6) (6 - x)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = (x + 6) (6 - x)$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 6) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = x (6 - x) + 6 (6 - x)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = x \cdot 6 + x (- x) + 6 (6 - x)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = x \cdot 6 + x (- x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x)$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = 6 \cdot x + x (- x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x)$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = 6 x - x \cdot x + 6 \cdot 6 + 6 (- x)$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = 6 x - (x \cdot x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x)$

Этап 2.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = 6 x - x^{2} + 6 \cdot 6 + 6 (- x)$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = 6 x - x^{2} + 36 + 6 (- x)$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = 6 x - x^{2} + 36 - 6 x$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = - x^{2} + 36 + 0$

Этап 2.3.3.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 = - x^{2} + 36$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- x {(x - 6)}^{2} + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$- x ((x - 6) (x - 6)) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x (x - 6) - 6 (x - 6)) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$- x (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$- x (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$- x (x^{2} - 12 x + 36) + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{2} - x (- 12 x) - x \cdot 36 + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 12 x) - x \cdot 36 + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 12 x) - x \cdot 36 + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 1} - x (- 12 x) - x \cdot 36 + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot 36 + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x \cdot x - x \cdot 36 + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.5.3

Умножим $36$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x \cdot x - 36 x + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.6.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 (x \cdot x) - 36 x + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x^{2} - 36 x + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x + 2 x^{3} - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.3

Добавим $- x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 72 x + 7 x^{2} - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.4

Добавим $12 x^{2}$ и $7 x^{2}$ .

$x^{3} + 19 x^{2} - 36 x - 72 x - 252 + x^{2} = 36$

Этап 3.1.5

Добавим $19 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{3} + 20 x^{2} - 36 x - 72 x - 252 = 36$

Этап 3.1.6

Вычтем $72 x$ из $- 36 x$ .

$x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 252 = 36$

Этап 3.2

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 252 - 36 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $36$ из $- 252$ .

$x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 288 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим $x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 288$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 288, \pm 2, \pm 144, \pm 3, \pm 96, \pm 4, \pm 72, \pm 6, \pm 48, \pm 8, \pm 36, \pm 9, \pm 32, \pm 12, \pm 24, \pm 16, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 3.4.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 288, \pm 2, \pm 144, \pm 3, \pm 96, \pm 4, \pm 72, \pm 6, \pm 48, \pm 8, \pm 36, \pm 9, \pm 32, \pm 12, \pm 24, \pm 16, \pm 18$

Этап 3.4.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

${(- 2)}^{3} + 20 {(- 2)}^{2} - 108 \cdot - 2 - 288$

Этап 3.4.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 + 20 {(- 2)}^{2} - 108 \cdot - 2 - 288$

Этап 3.4.1.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 + 20 \cdot 4 - 108 \cdot - 2 - 288$

Этап 3.4.1.3.4

Умножим $20$ на $4$ .

$- 8 + 80 - 108 \cdot - 2 - 288$

Этап 3.4.1.3.5

Добавим $- 8$ и $80$ .

$72 - 108 \cdot - 2 - 288$

Этап 3.4.1.3.6

Умножим $- 108$ на $- 2$ .

$72 + 216 - 288$

Этап 3.4.1.3.7

Добавим $72$ и $216$ .

$288 - 288$

Этап 3.4.1.3.8

Вычтем $288$ из $288$ .

$0$

Этап 3.4.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 288}{x + 2}$

Этап 3.4.1.5

Разделим $x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 288$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$20 x^{2}$

$108 x$

$288$

Этап 3.4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$

Этап 3.4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$

Этап 3.4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$

Этап 3.4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $18 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$

Этап 3.4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					+	$18 x^{2}$	+	$36 x$

Этап 3.4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $18 x^{2} + 36 x$ .

				$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$

Этап 3.4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$
							-	$144 x$

Этап 3.4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$18 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$
							-	$144 x$	-	$288$

Этап 3.4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 144 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$18 x$	-	$144$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$
							-	$144 x$	-	$288$

Этап 3.4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$18 x$	-	$144$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$
							-	$144 x$	-	$288$
							-	$144 x$	-	$288$

Этап 3.4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 144 x - 288$ .

				$x^{2}$	+	$18 x$	-	$144$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$
							-	$144 x$	-	$288$
							+	$144 x$	+	$288$

Этап 3.4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$18 x$	-	$144$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$20 x^{2}$	-	$108 x$	-	$288$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$18 x^{2}$	-	$108 x$
					-	$18 x^{2}$	-	$36 x$
							-	$144 x$	-	$288$
							+	$144 x$	+	$288$
										$0$

Этап 3.4.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 18 x - 144$

Этап 3.4.1.6

Запишем $x^{3} + 20 x^{2} - 108 x - 288$ в виде набора множителей.

$(x + 2) (x^{2} + 18 x - 144) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим $x^{2} + 18 x - 144$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разложим $x^{2} + 18 x - 144$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 144$ , а сумма — $18$ .

$- 6, 24$

Этап 3.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) ((x - 6) (x + 24)) = 0$

Этап 3.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 6) (x + 24) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 24 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.7

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.8

Приравняем $x + 24$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 24$ к $0$ .

$x + 24 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$x = - 24$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 6) (x + 24) = 0$ верно.

$x = - 2, 6, - 24$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x + 6} + \frac{2 x + 7}{6 - x} = \frac{1}{x - 6}$ истинным.

$x = - 2, - 24$