Алгебра Примеры

$12 n^{2} + 48 n = - n^{3} - 64$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $n^{3}$ к обеим частям уравнения.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} = - 64$

Этап 1.2

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} + 64 = 0$

Этап 2

Изменим порядок членов.

$n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64 = 0$

Этап 3

Перепишем $n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перегруппируем члены.

$n^{3} + 64 + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Этап 3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$n^{3} + 4^{3} + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Этап 3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = n$ и $b = 4$ .

$(n + 4) (n^{2} - n \cdot 4 + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Этап 3.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $12 n$ из $12 n^{2} + 48 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $12 n$ из $12 n^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 48 n = 0$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $12 n$ из $48 n$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 12 n (4) = 0$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $12 n$ из $12 n (n) + 12 n (4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4) = 0$

Этап 3.6

Вынесем множитель $n + 4$ из $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $n + 4$ из $12 n (n + 4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n) = 0$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $n + 4$ из $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16 + 12 n) = 0$

Этап 3.7

Добавим $- 4 n$ и $12 n$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 16) = 0$

Этап 3.8

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 4^{2}) = 0$

Этап 3.8.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 n = 2 \cdot n \cdot 4$

Этап 3.8.3

Перепишем многочлен.

$(n + 4) (n^{2} + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 3.8.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = n$ и $b = 4$ .

$(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$n + 4 = 0$

${(n + 4)}^{2} = 0$

Этап 5

Приравняем $n + 4$ к $0$ , затем решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $n + 4$ к $0$ .

$n + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$n = - 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$ верно.

$n = - 4$