Алгебра Примеры

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{4}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x - 2, 4$

Этап 1.2

Поскольку $x, x - 2, 4$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x, x - 2, 4$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 4$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x - 2$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.9

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.10

НОК $x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 2$

Этап 1.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 x (x - 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{4}$ умножим на $4 x (x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{4}$ на $4 x (x - 2)$ .

$\frac{1}{x} (4 x (x - 2)) + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{x} (x (x - 2)) + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} (x (x - 2)) + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x} (x (x - 2)) + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$4 (x - 2) + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot - 2 + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $4$ на $- 2$ .

$4 x - 8 + \frac{1}{x - 2} (4 x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 8 + 4 \frac{1}{x - 2} (x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.7

Объединим $4$ и $\frac{1}{x - 2}$ .

$4 x - 8 + \frac{4}{x - 2} (x (x - 2)) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $x (x - 2)$ .

$4 x - 8 + \frac{4}{x - 2} ((x - 2) x) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$4 x - 8 + \frac{4}{x - 2} ((x - 2) x) = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$4 x - 8 + 4 x = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.2.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$8 x - 8 = \frac{1}{4} (4 x (x - 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x (x - 2)$ .

$8 x - 8 = \frac{1}{4} (4 (x (x - 2)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$8 x - 8 = \frac{1}{4} (4 (x (x - 2)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$8 x - 8 = x (x - 2)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x - 8 = x \cdot x + x \cdot - 2$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} + x \cdot - 2$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$8 x - 8 = x^{2} - 2 x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 x = 8 x - 8$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 8 x = - 8$

Этап 3.2.2

Вычтем $8 x$ из $- 2 x$ .

$x^{2} - 10 x = - 8$

Этап 3.3

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 10 x + 8 = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Вычтем $32$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $32$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 5 + \sqrt{17}$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $32$ из $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $68$ в виде $2^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $68$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 5 \pm \sqrt{17}$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 5 - \sqrt{17}$

Этап 3.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 5 + \sqrt{17}, 5 - \sqrt{17}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 5 + \sqrt{17}, 5 - \sqrt{17}$

Десятичная форма:

$x = 9.12310562 \dots, 0.87689437 \dots$