Алгебра Примеры

$\tan (θ) \cdot \cos (θ) = - \cos (θ)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (θ) \cdot \cos (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cos (θ) = - \cos (θ)$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

$\sin (θ) = - \cos (θ)$

Этап 2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{- \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{- \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{- \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\tan (θ) = - 1$

Этап 5

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (- 1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 7

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Этап 8

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 8.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 9.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 9.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 10.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 10.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 10.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 10.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 10.5

Перечислим новые углы.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Этап 11

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Объединим ответы.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$