Алгебра Примеры

$\frac{16 x^{2} - 8 x + 1}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} \div \frac{20 x^{2} - 5 x}{15 x^{3}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{16 x^{2} - 8 x + 1}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 8 x + 1}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(4 x)}^{2} - 8 x + 1^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 1$

Этап 2.4

Перепишем многочлен.

$\frac{{(4 x)}^{2} - 2 \cdot (4 x) \cdot 1 + 1^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 4 x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x^{3} - 7 x^{2} + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 7 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x \cdot x^{2} - 7 x^{2} + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 7 x^{2}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x \cdot x^{2} + x (- 7 x) + 12 x} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x \cdot x^{2} + x (- 7 x) + x \cdot 12} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 7 x)$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x (x^{2} - 7 x) + x \cdot 12} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 7 x) + x \cdot 12$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x (x^{2} - 7 x + 12)} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 3.2

Разложим $x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 7$ .

$- 4, - 3$

Этап 3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x ((x - 4) (x - 3))} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x (x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x (x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x ((x - 4) (x - 3))} \cdot \frac{15 x^{3}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $15 x^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x ((x - 4) (x - 3))} \cdot \frac{x (15 x^{2})}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{x ((x - 4) (x - 3))} \cdot \frac{x (15 x^{2})}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{15 x^{2}}{20 x^{2} - 5 x}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{{(4 x - 1)}^{2}}{(x - 4) (x - 3)}$ на $\frac{15 x^{2}}{20 x^{2} - 5 x}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (15 x^{2})}{(x - 4) (x - 3) (20 x^{2} - 5 x)}$

Этап 5

Вынесем множитель $5 x$ из $20 x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $5 x$ из $20 x^{2}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} \cdot 15 x^{2}}{(x - 4) (x - 3) (5 x (4 x) - 5 x)}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $5 x$ из $- 5 x$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} \cdot 15 x^{2}}{(x - 4) (x - 3) (5 x (4 x) + 5 x (- 1))}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (4 x) + 5 x (- 1)$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} \cdot 15 x^{2}}{(x - 4) (x - 3) (5 x (4 x - 1))}$

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} \cdot 15 x^{2}}{(x - 4) (x - 3) \cdot 5 x (4 x - 1)}$

Этап 6

Сократим общий множитель ${(4 x - 1)}^{2}$ и $4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4 x - 1$ из ${(4 x - 1)}^{2} \cdot 15 x^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) ((4 x - 1) \cdot 15 x^{2})}{(x - 4) (x - 3) \cdot 5 x (4 x - 1)}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $4 x - 1$ из $(x - 4) (x - 3) \cdot 5 x (4 x - 1)$ .

$\frac{(4 x - 1) ((4 x - 1) \cdot 15 x^{2})}{(4 x - 1) ((x - 4) (x - 3) \cdot 5 x)}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 1) ((4 x - 1) \cdot 15 x^{2})}{(4 x - 1) ((x - 4) (x - 3) \cdot 5 x)}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x - 1) \cdot 15 x^{2}}{(x - 4) (x - 3) \cdot 5 x}$

Этап 7

Сократим общий множитель $15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $5$ из $(4 x - 1) \cdot 15 x^{2}$ .

$\frac{5 ((4 x - 1) \cdot 3 x^{2})}{(x - 4) (x - 3) \cdot 5 x}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $5$ из $(x - 4) (x - 3) \cdot 5 x$ .

$\frac{5 ((4 x - 1) \cdot 3 x^{2})}{5 ((x - 4) (x - 3) x)}$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 ((4 x - 1) \cdot 3 x^{2})}{5 ((x - 4) (x - 3) x)}$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3 x^{2}}{(x - 4) (x - 3) x}$

Этап 8

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $(4 x - 1) \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x ((4 x - 1) \cdot 3 x)}{(x - 4) (x - 3) x}$

Этап 8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $x$ из $(x - 4) (x - 3) x$ .

$\frac{x ((4 x - 1) \cdot 3 x)}{x ((x - 4) (x - 3))}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x ((4 x - 1) \cdot 3 x)}{x ((x - 4) (x - 3))}$

Этап 8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3 x}{(x - 4) (x - 3)}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $3$ влево от $4 x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 1) x}{(x - 4) (x - 3)}$

Этап 9.2

Изменим порядок множителей в $\frac{3 (4 x - 1) x}{(x - 4) (x - 3)}$ .

$\frac{3 x (4 x - 1)}{(x - 4) (x - 3)}$