Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{9 x^{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{9 y^{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{9 y^{2}} = x$ .

$\sqrt{9 y^{2}} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{9 y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{9 y^{2}}$ в виде ${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(9 y^{2})}^{1} = x^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$9 y^{2} = x^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = x^{2}$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Разделим каждый член $9 y^{2} = x^{2}$ на $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Этап 3.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Этап 3.4.1.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9}$

Этап 3.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Этап 3.4.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Этап 3.4.3.2

Перепишем $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ в виде ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Этап 3.4.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{x}{3}$

Этап 3.4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{x}{3}$

Этап 3.4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{x}{3}$

Этап 3.4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ обратной к $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{x}{3}$ .

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ , представляет область определения $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ — обратная к $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Этап 6