Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$

Этап 1

Найдем область определения $f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x - 1 | = 0$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Этап 1.4.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 1.4.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, 1}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, 1}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$ . В данном случае получится точка $(- 2, - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |} + \frac{(- 2) - 1}{| (- 2) - 1 |}$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |} + \frac{- 3}{| (- 2) - 1 |}$

Этап 2.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{2} + \frac{- 3}{| (- 2) - 1 |}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $- 2$ на $2$ .

$f (- 2) = - 1 + \frac{- 3}{| (- 2) - 1 |}$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + \frac{- 3}{| - 3 |}$

Этап 2.1.2.2.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f (- 2) = - 1 + \frac{- 3}{3}$

Этап 2.1.2.2.4

Разделим $- 3$ на $3$ .

$f (- 2) = - 1 - 1$

Этап 2.1.2.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (- 2) = - 2$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$ . В данном случае получится точка $(2, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2}{| 2 |} + \frac{(2) - 1}{| (2) - 1 |}$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \frac{2}{| 2 |} + \frac{1}{| (2) - 1 |}$

Этап 2.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f (2) = \frac{2}{2} + \frac{1}{| (2) - 1 |}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$f (2) = 1 + \frac{1}{| (2) - 1 |}$

Этап 2.2.2.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.3.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = 1 + \frac{1}{| 1 |}$

Этап 2.2.2.2.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (2) = 1 + \frac{1}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим $1$ на $1$ .

$f (2) = 1 + 1$

Этап 2.2.2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f (2) = 2$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 2.3

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, - 2), (- 1, - 2), (2, 2)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - 2 \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 3