Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \div \frac{x^{2} - 25}{5 x + 10}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 3

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x) + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 5 \cdot 2}{x^{2} - 25}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5 \cdot 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 25}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 5^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x + 5$ из ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x - 5}$

Этап 6

Умножим $\frac{x + 5}{x - 5}$ на $\frac{5 (x + 2)}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{(x - 5) (x - 5)}$

Этап 7

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Этап 8

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 11

Перенесем $5$ влево от $x + 5$ .

$\frac{5 (x + 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 13

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{(5 x + 25) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 14

Развернем $(5 x + 25) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x (x + 2) + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 15.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 15.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 15.1.3

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 15.2

Добавим $10 x$ и $25 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 16

Разобьем дробь $\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$ на две дроби.

$\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 17

Разобьем дробь $\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}}$ на две дроби.

$\frac{5 x^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$