Алгебра Примеры

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Этап 1

Перепишем $3^{x + 2}$ в виде $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Этап 2

Перепишем $3^{1 - x}$ в виде $3^{1} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Этап 3

Перепишем $3^{- x}$ в виде степенного выражения.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Этап 4

Подставим $u$ вместо $3^{x}$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Этап 5.2

Перенесем $9$ влево от $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Этап 5.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Этап 5.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Этап 6

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 6.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 6.2

Каждый член в $9 u + \frac{3}{u} = 28$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $9 u + \frac{3}{u} = 28$ на $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $28 u$ из обеих частей уравнения.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Этап 6.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Изменим порядок членов.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ , а сумма — $b = - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 28$ из $- 28 u$ .

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.2.2

Запишем $- 28$ как $- 1$ плюс $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Этап 6.3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Этап 6.3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Этап 6.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Этап 6.3.4

Приравняем $9 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Приравняем $9 u - 1$ к $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Этап 6.3.4.2

Решим $9 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$9 u = 1$

Этап 6.3.4.2.2

Разделим каждый член $9 u = 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $9 u = 1$ на $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 6.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Этап 6.3.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Этап 6.3.5

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 6.3.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 6.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Этап 7

Подставим $\frac{1}{9}$ вместо $u$ в $u = 3^{x}$ .

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Этап 8

Решим $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $3^{x} = \frac{1}{9}$ .

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Этап 8.2

Возведем $9$ в степень $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Этап 8.3

Перенесем $9^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Этап 8.4

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Этап 8.5

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = - 2$

Этап 9

Подставим $3$ вместо $u$ в $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Этап 10

Решим $3 = 3^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Этап 10.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{1}$

Этап 10.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 11

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = - 2, 1$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Этап 13.1.3

Левая часть $243.\overline{1}$ больше правой части $28$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Этап 13.2.3

Левая часть $12$ не больше правой части $28$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Этап 13.3.3

Левая часть $729.\overline{037}$ больше правой части $28$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 2$ или $x > 1$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < - 2 or x > 1$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Этап 16