Алгебра Примеры

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x + 2}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 3) (x - 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x + 2}{x + 3}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.4

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.5

Перепишем $x^{2} - 9$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.1.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

Этап 4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

Этап 4.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перенесем знак минус из знаменателя $\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ в числитель.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

Этап 4.3.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

Этап 4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$\frac{x - 4}{x - 2}$