Алгебра Примеры

$8 \sqrt[3]{2 x} = 4 x$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(8 \sqrt[3]{2 x})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(8 {(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(8 {(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(8 (2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $8 (2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{3} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2^{\frac{1}{3} + 3} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(2^{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2.4

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

${(2^{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

${(2^{\frac{1 + 3 \cdot 3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.6.1

Умножим $3$ на $3$ .

${(2^{\frac{1 + 9}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.2.6.2

Добавим $1$ и $9$ .

${(2^{\frac{10}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.3

Применим правило умножения к $2^{\frac{10}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

${(2^{\frac{10}{3}})}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{10}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{10}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{10}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{10} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.5

Возведем $2$ в степень $10$ .

$1024 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1024 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$1024 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$1024 x^{1} = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.2.1.7

Упростим.

$1024 x = {(4 x)}^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(4 x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$1024 x = 4^{3} x^{3}$

Этап 2.3.1.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$1024 x = 64 x^{3}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $64 x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$1024 x - 64 x^{3} = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $64 x$ из $1024 x - 64 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $64 x$ из $1024 x$ .

$64 x (16) - 64 x^{3} = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $64 x$ из $- 64 x^{3}$ .

$64 x (16) + 64 x (- x^{2}) = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $64 x$ из $64 x (16) + 64 x (- x^{2})$ .

$64 x (16 - x^{2}) = 0$

Этап 3.2.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$64 x (4^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = x$ .

$64 x ((4 + x) (4 - x)) = 0$

Этап 3.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$64 x (4 + x) (4 - x) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5

Приравняем $4 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $4 + x$ к $0$ .

$4 + x = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.6

Приравняем $4 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $4 - x$ к $0$ .

$4 - x = 0$

Этап 3.6.2

Решим $4 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $64 x (4 + x) (4 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, 4$