Алгебра Примеры

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Этап 1

Вычтем $\frac{8}{x}$ из обеих частей неравенства.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Этап 2

Упростим $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $| x - 2 |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Этап 4

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x | x - 2 | = 8$

Этап 5

Разделим каждый член $x | x - 2 | = 8$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $x | x - 2 | = 8$ на $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $| x - 2 |$ на $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Этап 6

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Этап 7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Этап 7.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 7.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 7.4

Каждый член в $x = \frac{8}{x} + 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим каждый член $x = \frac{8}{x} + 2$ на $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Этап 7.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Этап 7.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Этап 7.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Этап 7.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x = 8$

Этап 7.5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Этап 7.5.3

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 7.5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Этап 7.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 7.5.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 7.5.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.5.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.5.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 4, - 2$

Этап 7.6

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Этап 7.7

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Этап 7.8

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 7.8.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 7.9

Каждый член в $x = - \frac{8}{x} + 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Умножим каждый член $x = - \frac{8}{x} + 2$ на $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Этап 7.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Этап 7.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{x}$ в числитель.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Этап 7.9.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Этап 7.9.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Этап 7.10

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Этап 7.10.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Этап 7.10.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.10.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.3

Вычтем $32$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.4

Перепишем $- 28$ в виде $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (28)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.7

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.10.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Этап 7.10.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Этап 7.10.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Этап 7.11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, 4, - 2$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 10.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Этап 12.1.3

Левая часть $6$ не меньше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Этап 12.2.3

Левая часть $3$ не меньше правой части $- 8$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Этап 12.3.3

Левая часть $0$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Этап 12.4.3

Левая часть $4$ не меньше правой части $1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 4$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 4$

Интервальное представление:

$(0, 4)$

Этап 15