Алгебра Примеры

$y = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = {(\frac{1}{4} y + 6)}^{3}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$ .

${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$

Этап 2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\frac{1}{4} y + 6 = \sqrt[3]{x}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y$ .

$\frac{y}{4} + 6 = \sqrt[3]{x}$

Этап 2.4

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{4} = \sqrt[3]{x} - 6$

Этап 2.5

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Этап 2.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Этап 2.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Этап 2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим $4 (\sqrt[3]{x} - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot - 6$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $4$ на $- 6$ .

$y = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ обратной к $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Этап 4.2.3

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{1}{4} x + 6) - 24$

Этап 4.2.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4} + 6) - 24$

Этап 4.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Этап 4.2.4.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Этап 4.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 4 \cdot 6 - 24$

Этап 4.2.4.5

Умножим $4$ на $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 24 - 24$

Этап 4.2.5

Объединим противоположные члены в $x + 24 - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $24$ из $24$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 0$

Этап 4.2.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (4 \sqrt[3]{x} - 24)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x} - 24) + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 (\sqrt[3]{x})) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 24$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 6)) + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 6) + 6)}^{3}$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} - 6 + 6)}^{3}$

Этап 4.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим противоположные члены в $\sqrt[3]{x} - 6 + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Этап 4.3.4.1.2

Добавим $\sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Этап 4.3.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Этап 4.3.4.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.4.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Этап 4.3.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Этап 4.3.4.2.5

Упростим.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ — обратная к $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$