Алгебра Примеры

$\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $arccsc ({(2)}^{- 1})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Следовательно, $\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$ равно $\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$ .

$\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(2^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{- 1 \cdot 2} - 1} \cdot 2$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{2^{- 2} - 1} \cdot 2$

Этап 3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - 1} \cdot 2$

Этап 4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1} \cdot 2$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{1 - 4}{4}} \cdot 2$

Этап 8.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\sqrt{\frac{- 3}{4}} \cdot 2$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{- \frac{3}{4}} \cdot 2$

Этап 10

Перепишем $- \frac{3}{4}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{3}{4}} \cdot 2$

Этап 10.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}} \cdot 2$

Этап 10.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}} \cdot 2$

Этап 10.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)} \cdot 2$

Этап 10.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3} \cdot 2$

Этап 11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{i}{2} \sqrt{3} \cdot 2$

Этап 12

Объединим $\frac{i}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Этап 13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Этап 13.2

Перепишем это выражение.

$i \sqrt{3}$