Алгебра Примеры

${(1 + \sqrt{3} i)}^{2} = a + i b$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

$a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем.

$a + i b = 0 + 0 + {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Этап 2.2

Перепишем ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ .

$a + i b = (1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$

Этап 2.3

Развернем $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a + i b = 1 (1 + \sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$a + i b = 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Этап 2.4.1.2

Умножим $\sqrt{3} i$ на $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Этап 2.4.1.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Этап 2.4.1.4

Умножим $\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.4.1

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Этап 2.4.1.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Этап 2.4.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Этап 2.4.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Этап 2.4.1.4.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Этап 2.4.1.4.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Этап 2.4.1.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Этап 2.4.1.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Этап 2.4.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Этап 2.4.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Этап 2.4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Этап 2.4.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Этап 2.4.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Этап 2.4.1.5.5

Найдем экспоненту.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Этап 2.4.1.6

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Этап 2.4.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Этап 2.4.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$a + i b = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Этап 2.4.3

Добавим $\sqrt{3} i$ и $\sqrt{3} i$ .

$a + i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Этап 3

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$

Этап 4

Разделим каждый член $i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$ на $i$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$ на $i$ .

$\frac{i b}{i} = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{i b}{i} = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{- 2}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$b = \frac{- 2}{i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Объединим.

$b = \frac{- 2 i}{i i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{1} i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.2.2.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{1} i^{1}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b = \frac{- 2 i}{i^{1 + 1}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{2}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.2.2.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$b = \frac{- 2 i}{- 1} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 2 i}{- 1}$ .

$b = - 1 \cdot (- 2 i) + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (- 2 i)$ в виде $- (- 2 i)$ .

$b = - (- 2 i) + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$b = 2 i + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.6

Сократим общий множитель $i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$b = 2 i + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.6.2

Разделим $2 \sqrt{3}$ на $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a}{i}$

Этап 4.3.1.7

Умножим числитель и знаменатель $\frac{- a}{i}$ на комплексно сопряженное $i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Этап 4.3.1.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.8.1

Объединим.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i i}$

Этап 4.3.1.8.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.8.2.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1} i}$

Этап 4.3.1.8.2.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1} i^{1}}$

Этап 4.3.1.8.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1 + 1}}$

Этап 4.3.1.8.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{2}}$

Этап 4.3.1.8.2.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{- 1}$

Этап 4.3.1.9

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{a i}{1}$

Этап 4.3.1.10

Разделим $a i$ на $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + a i$

Этап 4.3.2

Изменим порядок $2 i$ и $2 \sqrt{3}$ .

$b = 2 \sqrt{3} + 2 i + a i$