Алгебра Примеры

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Этап 1

Приравняем $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ к $0$ .

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3} + 125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.2.2

Перепишем $125$ в виде $- 1 (- 125)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ .

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $15 x$ из $15 x^{2} - 75 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $15 x$ из $15 x^{2}$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $15 x$ из $- 75 x$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

Этап 2.1.6.3

Вынесем множитель $15 x$ из $15 x (x) + 15 x (- 5)$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x - 5$ из $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x - 5$ из $15 x (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

Этап 2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Этап 2.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Этап 2.1.9.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Этап 2.1.9.3

Умножим $- 1$ на $25$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

Этап 2.1.10

Добавим $- 5 x$ и $15 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Этап 2.1.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ , а сумма — $b = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Этап 2.1.11.1.1.2

Запишем $10$ как $5$ плюс $5$

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Этап 2.1.11.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Этап 2.1.11.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Этап 2.1.11.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Этап 2.1.11.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 5$ .

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Этап 2.1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.2

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.4

Возведем $- x + 5$ в степень $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.5

Возведем $- x + 5$ в степень $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.9

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.11

Перепишем $- (x - 5)$ в виде $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.12

Применим правило умножения к $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.13

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.14

Умножим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Этап 2.1.12.15

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Этап 2.1.12.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

Этап 2.1.12.17

Добавим $1$ и $2$ .

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим ${(x - 5)}^{3}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(x - 5)}^{3} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$ (кратно $3$ )

Этап 3