Алгебра Примеры

$v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Этап 1

Запишем $v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$G = \sqrt{\frac{2 y M}{R}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$ .

$\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{2 y M}{R}}}^{2} = G^{2}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{2 y M}{R}}$ в виде ${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = G^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{2 y M}{R})}^{1} = G^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$\frac{2 y M}{R} = G^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим обе части на $R$ .

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 y M = G^{2} R$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $2 y M = G^{2} R$ на $2 M$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $2 y M = G^{2} R$ на $2 M$ .

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Этап 3.4.3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Этап 4

Заменим $y$ на $v^{- 1} (G)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Этап 5

Проверим, является ли $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ обратной к $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $v^{- 1} (v (G)) = G$ и $v (v^{- 1} (G)) = G$ .

Этап 5.2

Найдем значение $v^{- 1} (v (G))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$v^{- 1} (v (G))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}})$ , подставив значение $v$ в $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\sqrt{\frac{2 G M}{R}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ на $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}} \cdot \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ на $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.2

Возведем $\sqrt{R}$ в степень $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{R}$ в степень $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{1 + 1}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{R}}^{2}$ в виде $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{R}$ в виде $R^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{(R^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.3.6.5

Упростим.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Этап 5.2.3.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 G M R}}{R}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{\sqrt{2 G M R}}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2 G M R}}^{2}$ в виде $2 G M R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 G M R}$ в виде ${(2 G M R)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{({(2 G M R)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.6.5

Упростим.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.7

Сократим общий множитель $R$ и $R^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Вынесем множитель $R$ из $2 G M R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $R$ из $R^{2}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{R} \cdot R}{2 M}$

Этап 5.2.4

Объединим $\frac{2 G M}{R}$ и $R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим выражение $\frac{2 G M R}{R}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Этап 5.2.5.1.2

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{1}}{2 M}$

Этап 5.2.5.2

Разделим $2 G M$ на $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Этап 5.2.6.2

Перепишем это выражение.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Этап 5.2.7

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Сократим общий множитель.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Этап 5.2.7.2

Разделим $G$ на $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = G$

Этап 5.3

Найдем значение $v (v^{- 1} (G))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$v (v^{- 1} (G))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $v (\frac{G^{2} R}{2 M})$ , подставив значение $v^{- 1}$ в $v$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{2 (\frac{G^{2} R}{2 M}) \cdot \frac{M}{R}}$

Этап 5.3.3

Объединим $2$ и $\frac{G^{2} R}{2 M}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R)}{2 M} \cdot \frac{M}{R}}$

Этап 5.3.4

Умножим $\frac{2 (G^{2} R)}{2 M}$ на $\frac{M}{R}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R) M}{2 M R}}$

Этап 5.3.5

Сократим выражение $\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сократим общий множитель.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем это выражение.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Сократим общий множитель.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Этап 5.3.6.2

Перепишем это выражение.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Этап 5.3.7.2

Разделим $G^{2}$ на $1$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{G^{2}}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = G$

Этап 5.4

Так как $v^{- 1} (v (G)) = G$ и $v (v^{- 1} (G)) = G$ , то $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ — обратная к $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ .

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$