Алгебра Примеры

$2 \log (x) < \log (2 - x)$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$2 \log (x) = \log (2 - x)$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \log (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (x^{2}) = \log (2 - x)$

Этап 2.2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} = 2 - x$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + x = 2$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 2 = 0$

Этап 2.3.3

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 2.3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Этап 2.3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.3.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.3.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 1, - 2$

Этап 3

Найдем область определения $\log (\frac{x^{2}}{2 - x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log (\frac{x^{2}}{2 - x})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x^{2}}{2 - x} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

$2 - x = 0$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.2.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3.2.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 3.2.5

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.5.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 3.2.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = 2$

Этап 3.2.7

Объединим решения.

$x = 0, 2$

Этап 3.2.8

Найдем область определения $\frac{x^{2}}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{2 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x = 0$

Этап 3.2.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 3.2.8.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.8.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 3.2.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 3.2.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 3.2.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 3.2.10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2}}{2 - (- 2)} > 0$

Этап 3.2.10.1.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 3.2.10.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(1)}^{2}}{2 - (1)} > 0$

Этап 3.2.10.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.2.10.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.2.10.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2}}{2 - (4)} > 0$

Этап 3.2.10.3.3

Левая часть $- 8$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.2.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < 0$ Истина

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 3.2.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $0 < x < 2$

Этап 3.3

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{2 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 \log (- 4) < \log (2 - (- 4))$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 \log (0) < \log (2 - (0))$

Этап 5.2.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.2.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 \log (4) < \log (2 - (4))$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Правая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

$x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Ложь

Этап 6

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения