Алгебра Примеры

$\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}} = 32^{x + 3}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}$ в виде ${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{1} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${(32^{x + 3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{(x + 3) \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{x \cdot 2 + 3 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 \cdot x + 3 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $2^{x}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$8^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{3})}^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (x - 1)} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{3 x + 3 \cdot - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2^{3 x - 3} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{3 x - 3 - x} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.5

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$2^{2 x - 3} = 32^{2 x + 6}$

Этап 3.6

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{2 x - 3} = 2^{5 (2 x + 6)}$

Этап 3.7

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Этап 3.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим $5 (2 x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Перепишем.

$2 x - 3 = 0 + 0 + 5 (2 x + 6)$

Этап 3.8.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Этап 3.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = 5 (2 x) + 5 \cdot 6$

Этап 3.8.1.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.4.1

Умножим $2$ на $5$ .

$2 x - 3 = 10 x + 5 \cdot 6$

Этап 3.8.1.4.2

Умножим $5$ на $6$ .

$2 x - 3 = 10 x + 30$

Этап 3.8.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 3 - 10 x = 30$

Этап 3.8.2.2

Вычтем $10 x$ из $2 x$ .

$- 8 x - 3 = 30$

Этап 3.8.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 8 x = 30 + 3$

Этап 3.8.3.2

Добавим $30$ и $3$ .

$- 8 x = 33$

Этап 3.8.4

Разделим каждый член $- 8 x = 33$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Разделим каждый член $- 8 x = 33$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Этап 3.8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Этап 3.8.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{33}{- 8}$

Этап 3.8.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{33}{8}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{33}{8}$

Десятичная форма:

$x = - 4.125$

Форма смешанных чисел:

$x = - 4 \frac{1}{8}$