Алгебра Примеры

$r = 2 \cos (θ) + 2 \sin (θ)$

Этап 1

Так как $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , заменим $\sin (θ)$ на $\frac{y}{r}$ .

$r = 2 \cos (θ) + 2 \frac{y}{r}$

Этап 2

Так как $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , заменим $\cos (θ)$ на $\frac{x}{r}$ .

$r = 2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r}$

Этап 3

Умножим обе части на $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части на $r$ .

$r \cdot r = r (2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $r$ на $r$ .

$r^{2} = r (2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $r (2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{2 x}{r} + 2 \frac{y}{r})$

Этап 3.3.1.1.2

Объединим $2$ и $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{2 x}{r} + \frac{2 y}{r})$

Этап 3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} = r \frac{2 x}{r} + r \frac{2 y}{r}$

Этап 3.3.1.2.2

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$r^{2} = r \frac{2 x}{r} + r \frac{2 y}{r}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$r^{2} = 2 x + r \frac{2 y}{r}$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$r^{2} = 2 x + r \frac{2 y}{r}$

Этап 3.3.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$r^{2} = 2 x + 2 y$

Этап 4

Так как $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , заменим $r^{2}$ на $x^{2} + y^{2}$ , и $r$ на $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y$

Этап 5

Запишем в стандартной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - 2 x = 2 y$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$

Этап 5.2

Составим полный квадрат для $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 5.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 5.2.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 5.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 5.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 5.2.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 5.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 5.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 5.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Этап 5.3

Подставим ${(x - 1)}^{2} - 1$ вместо $x^{2} - 2 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 2 y = 0$

Этап 5.4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} - 2 y = 0 + 1$

Этап 5.5

Составим полный квадрат для $y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 5.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 5.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 5.5.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 5.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 5.5.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 5.5.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 5.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 5.5.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 5.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Этап 5.6

Подставим ${(y - 1)}^{2} - 1$ вместо $y^{2} - 2 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = 0 + 1$

Этап 5.7

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0 + 1 + 1$

Этап 5.8

Упростим $0 + 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Добавим $0$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + 1$

Этап 5.8.2

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$