Алгебра Примеры

$2 \log (m - 1) + \log (2) = \log (2 m^{2} - 1)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log (m - 1) + \log (2) - \log (2 m^{2} - 1) = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (m - 1) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \log (m - 1) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $2 \log (m - 1)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log ({(m - 1)}^{2}) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Этап 3.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(m - 1)}^{2} \frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Этап 3.1.3

Объединим ${(m - 1)}^{2}$ и $\frac{2}{2 m^{2} - 1}$ .

$\log (\frac{{(m - 1)}^{2} \cdot 2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Этап 3.1.4

Перенесем $2$ влево от ${(m - 1)}^{2}$ .

$\log (\frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Этап 4

Перепишем $\log (\frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}$

Этап 5

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$2 {(m - 1)}^{2} = 10^{0} (2 m^{2} - 1)$

Этап 6

Упростим $10^{0} (2 m^{2} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 {(m - 1)}^{2} = 1 (2 m^{2} - 1)$

Этап 6.2

Умножим $2 m^{2} - 1$ на $1$ .

$2 {(m - 1)}^{2} = 2 m^{2} - 1$

Этап 7

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $2 m^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 {(m - 1)}^{2} - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем ${(m - 1)}^{2}$ в виде $(m - 1) (m - 1)$ .

$2 ((m - 1) (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.2

Развернем $(m - 1) (m - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (m (m - 1) - 1 (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$2 (m^{2} + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $m$ .

$2 (m^{2} - 1 \cdot m - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.3.1.3

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$2 (m^{2} - m - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$2 (m^{2} - m - m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (m^{2} - m - m + 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $m$ из $- m$ .

$2 (m^{2} - 2 m + 1) - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 m^{2} + 2 (- 2 m) + 2 \cdot 1 - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 m^{2} - 4 m + 2 \cdot 1 - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 m^{2} - 4 m + 2 - 2 m^{2} = - 1$

Этап 7.3

Объединим противоположные члены в $2 m^{2} - 4 m + 2 - 2 m^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вычтем $2 m^{2}$ из $2 m^{2}$ .

$- 4 m + 2 + 0 = - 1$

Этап 7.3.2

Добавим $- 4 m + 2$ и $0$ .

$- 4 m + 2 = - 1$

Этап 8

Вынесем множитель $2$ из $- 4 m + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 m$ .

$2 (- 2 m) + 2 = - 1$

Этап 8.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (- 2 m) + 2 (1) = - 1$

Этап 8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 m) + 2 (1)$ .

$2 (- 2 m + 1) = - 1$

Этап 9

Разделим каждый член $2 (- 2 m + 1) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $2 (- 2 m + 1) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 (- 2 m + 1)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 m + 1)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $- 2 m + 1$ на $1$ .

$- 2 m + 1 = \frac{- 1}{2}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 m + 1 = - \frac{1}{2}$

Этап 10

Перенесем все члены без $m$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 m = - \frac{1}{2} - 1$

Этап 10.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 m = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 2 m = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 m = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 m = \frac{- 1 - 2}{2}$

Этап 10.5.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$- 2 m = \frac{- 3}{2}$

Этап 10.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 m = - \frac{3}{2}$

Этап 11

Разделим каждый член $- 2 m = - \frac{3}{2}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $- 2 m = - \frac{3}{2}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 m}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 m}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Этап 11.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$m = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 11.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$m = - \frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$

Этап 11.3.3

Умножим $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$m = 1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{2}$

Этап 11.3.3.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$m = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 11.3.3.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 11.3.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$m = \frac{3}{4}$

Этап 12

Исключим решения, которые не делают $2 \log (m - 1) + \log (2) = \log (2 m^{2} - 1)$ истинным.

$Нет решения$