Алгебра Примеры

$x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$ .

$| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$

Этап 2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (x^{2} - 3 x - 2)$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - 1 = x^{2} - 3 x - 2$

Этап 3.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 3 x - 2 = x - 1$

Этап 3.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 1$

Этап 3.3.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 1$

Этап 3.4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x - 2 + 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Добавим $16$ и $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Этап 3.9

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - 1 = - (x^{2} - 3 x - 2)$

Этап 3.10

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Этап 3.11

Упростим $- (x^{2} - 3 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем.

$0 + 0 - (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Этап 3.11.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Этап 3.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - (- 3 x) - - 2 = x - 1$

Этап 3.11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 3 x - - 2 = x - 1$

Этап 3.11.4.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- x^{2} + 3 x + 2 = x - 1$

Этап 3.12

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 3 x + 2 - x = - 1$

Этап 3.12.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 2 = - 1$

Этап 3.13

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} + 2 x + 2 + 1 = 0$

Этап 3.14

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Этап 3.15

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Этап 3.15.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Этап 3.15.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.15.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 3.15.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 3.15.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 3.15.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 3.15.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 3.16

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.17

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.17.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.18

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.18.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.19

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 3.20

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}, 3, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$ истинным.

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Десятичная форма:

$x = 4.23606797 \dots, - 1$