Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{- \frac{2}{3}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ .

$2 y^{- \frac{2}{3}} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ на $2$ .

$\frac{2 y^{- \frac{2}{3}}}{2} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $y^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Этап 3.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{\frac{2}{3}}, 2$

Этап 3.3.2

Так как $y^{\frac{2}{3}}, 2$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 2$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{\frac{2}{3}}$ .

Этап 3.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.3.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.3.6

НОК $1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.3.7

НОК $y^{\frac{2}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.3.8

НОК $y^{\frac{2}{3}}, 2$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4

Каждый член в $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ умножим на $2 y^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ на $2 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.4.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $y^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$2 = x y^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ .

$x y^{\frac{2}{3}} = 2$

Этап 3.5.2

Разделим каждый член $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Разделим каждый член $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ на $x$ .

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Этап 3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Этап 3.5.2.2.2

Разделим $y^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{x}$

Этап 3.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Упростим ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.1.1.2

Упростим.

$y = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{x}$ .

$y = \pm \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ обратной к $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$

Этап 5.3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{3} \geq 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq 0$

Этап 5.3.4

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Этап 5.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} = 0^{2}$

Этап 5.3.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.3.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.3.5.3.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.3.5.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.3.6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$2 \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 5.4.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 5.4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 0^{3}$

Этап 5.4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.3.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.3.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6