Алгебра Примеры

$2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (2) - \log (x) = \log (\frac{x + 3}{7})$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Упростим $2 \log (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log (2^{2}) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Этап 3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\log (4) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Этап 3.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{4}{x}) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Этап 3.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{4}{x}}{\frac{x + 3}{7}}) = 0$

Этап 3.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\log (\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}) = 0$

Этап 3.1.5

Умножим $\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{7}{x + 3}$ .

$\log (\frac{4 \cdot 7}{x (x + 3)}) = 0$

Этап 3.1.5.2

Умножим $4$ на $7$ .

$\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$

Этап 4

Перепишем $\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{28}{x (x + 3)}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$

Этап 5.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 1$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x (x + 3), 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x (x + 3)$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ умножим на $x (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ на $x (x + 3)$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$28 = 1 (x (x + 3))$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $x (x + 3)$ на $1$ .

$28 = x (x + 3)$

Этап 5.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$28 = x \cdot x + x \cdot 3$

Этап 5.4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$28 = x^{2} + x \cdot 3$

Этап 5.4.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$28 = x^{2} + 3 x$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 3 x = 28$ .

$x^{2} + 3 x = 28$

Этап 5.5.2

Вычтем $28$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 3 x - 28 = 0$

Этап 5.5.3

Разложим $x^{2} + 3 x - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 28$ , а сумма — $3$ .

$- 4, 7$

Этап 5.5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 7) = 0$

Этап 5.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 5.5.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.5.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.5.6

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 5.5.6.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 5.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 4, - 7$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$ истинным.

$x = 4$