Алгебра Примеры

$\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1} = - 3$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{4} + 2 y^{2} + 1}$ в виде ${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{4} + 2 y^{2} + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = {(- 3)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y^{4} + 2 y^{2} + 1 = 9$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $u = y^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} + 2 u + 1 = 9$

$u = y^{2}$

Этап 3.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 2 u + 1 - 9 = 0$

Этап 3.3

Вычтем $9$ из $1$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Этап 3.4

Разложим $u^{2} + 2 u - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 4 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 3.7

Приравняем $u + 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $u + 4$ к $0$ .

$u + 4 = 0$

Этап 3.7.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u = - 4$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (u + 4) = 0$ верно.

$u = 2, - 4$

Этап 3.9

Подставим вещественное значение $u = y^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$y^{2} = 2$

${(y^{2})}^{1} = - 4$

Этап 3.10

Решим первое уравнение относительно $y$ .

$y^{2} = 2$

Этап 3.11

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2}$

Этап 3.11.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2}$

Этап 3.11.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2}$

Этап 3.11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.12

Решим второе уравнение относительно $y$ .

${(y^{2})}^{1} = - 4$

Этап 3.13

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Избавимся от скобок.

$y^{2} = - 4$

Этап 3.13.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 3.13.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 3.13.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 3.13.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 3.13.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 3.13.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm i \cdot 2$

Этап 3.13.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$y = \pm 2 i$

Этап 3.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 2 i$

Этап 3.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 2 i$

Этап 3.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 2 i, - 2 i$

Этап 3.14

Решением $y^{4} + 2 y^{2} + 1 = 9$ является $y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2 i, - 2 i$ .

$y = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2 i, - 2 i$