Алгебра Примеры

$2 x^{2} - 18$ и $5 x^{3} + 30 x^{2} + 45 x$

Этап 1

Разложим $2 x^{2} - 18$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 18$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot - 9$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 9$ .

$2 (x^{2} - 9)$

Этап 1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$2 (x^{2} - 3^{2})$

Этап 1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$2 ((x + 3) (x - 3))$

Этап 1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x + 3) (x - 3)$

Этап 2

Разложим $5 x^{3} + 30 x^{2} + 45 x$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{3} + 30 x^{2} + 45 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x^{3}$ .

$5 x (x^{2}) + 30 x^{2} + 45 x$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $30 x^{2}$ .

$5 x (x^{2}) + 5 x (6 x) + 45 x$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $5 x$ из $45 x$ .

$5 x (x^{2}) + 5 x (6 x) + 5 x (9)$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{2}) + 5 x (6 x)$ .

$5 x (x^{2} + 6 x) + 5 x (9)$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (x^{2} + 6 x) + 5 x (9)$ .

$5 x (x^{2} + 6 x + 9)$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 6 x + 3^{2})$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$5 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2})$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$5 x {(x + 3)}^{2}$

Этап 3

Поскольку $2 (x + 3) (x - 3), 5 x {(x + 3)}^{2}$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $2 (x + 3) (x - 3), 5 x {(x + 3)}^{2}$ :

1. Найдем НОК для числовой части $2, 5$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 3, x - 3, {(x + 3)}^{2}$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 4

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 6

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 7

НОК $2, 5$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 5$

Этап 8

Умножим $2$ на $5$ .

$10$

Этап 9

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 10

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 11

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 12

Множителем $x - 3$ является само значение $x - 3$ .

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 13

Множители $x + 3$ — это $(x + 3) \cdot (x + 3)$ , то есть $x + 3$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(x + 3) = (x + 3) \cdot (x + 3)$

$(x + 3)$ встречается $2$ раз.

Этап 14

НОК $x + 3, x - 3, {(x + 3)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(x + 3)}^{2} (x - 3)$

Этап 15

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$10 x {(x + 3)}^{2} (x - 3)$