Алгебра Примеры

$\sqrt[3]{x + 5} = x - 1$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 5)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x + 5 = {(x - 1)}^{3}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x - 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$x + 5 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.3.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Этап 2.3.1.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x + 5$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = 5$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = 5$

Этап 3.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 - 5 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x - 6 = 0$

Этап 3.5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) = 0$

Этап 3.5.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.8

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 3.8.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 3.8.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 3.8.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 3.8.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 3.8.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 3.8.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 3.8.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$ верно.

$x = 3, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$