Алгебра Примеры

$f (x) < - \sqrt{x + 2} - 4$

Этап 1

Вычтем $f (x)$ из обеих частей неравенства.

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Этап 2

Найдем угловой коэффициент и точку пересечения с осью y для линии границы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 2.1.2

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x) > 0$

Этап 2.1.3

Перенесем все члены без $- \sqrt{x + 2}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Добавим $4$ к обеим частям неравенства.

$- \sqrt{x + 2} - f (x) > 4$

Этап 2.1.3.2

Добавим $f (x)$ к обеим частям неравенства.

$- \sqrt{x + 2} > 4 + f (x)$

Этап 2.1.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Упростим ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2.1.3

Умножим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.2.1.5

Упростим.

$x + 2 > {(4 + f (x))}^{2}$

Этап 2.1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Упростим ${(4 + f (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1.1

Перепишем ${(4 + f (x))}^{2}$ в виде $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ .

$x + 2 > (4 + f (x)) (4 + f (x))$

Этап 2.1.5.3.1.2

Развернем $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 > 4 (4 + f (x)) + f (x) (4 + f (x))$

Этап 2.1.5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) (4 + f (x))$

Этап 2.1.5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Этап 2.1.5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Этап 2.1.5.3.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 \cdot f (x) + f (x) f (x)$

Этап 2.1.5.3.1.3.1.3

Умножим $f (x) f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1.3.1.3.1

Возведем $f (x)$ в степень $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} f (x)$

Этап 2.1.5.3.1.3.1.3.2

Возведем $f (x)$ в степень $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} {f (x)}^{1}$

Этап 2.1.5.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1 + 1}$

Этап 2.1.5.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{2}$

Этап 2.1.5.3.1.3.2

Добавим $4 f (x)$ и $4 f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 8 f (x) + {f (x)}^{2}$

Этап 2.1.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$16 + 8 f x + f x^{2} < x + 2$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $x$ из обеих частей неравенства.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x < 2$

Этап 2.1.6.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x - 2 < 0$

Этап 2.1.6.3.2

Вычтем $2$ из $16$ .

$8 f x + f x^{2} - x + 14 < 0$

Этап 2.1.6.4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$8 f x + f x^{2} - x + 14 = 0$

Этап 2.1.6.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.1.6.6

Подставим значения $a = f$ , $b = 8 f - 1$ и $c = 14$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (8 f - 1) \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot 14)}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.4

Перепишем ${(8 f - 1)}^{2}$ в виде $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.5

Развернем $(8 f - 1) (8 f - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.7.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.7.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.1.2

Умножим $f$ на $f$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.7.6.1.2.1

Перенесем $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.1.2.2

Умножим $f$ на $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.6.2

Вычтем $8 f$ из $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.7

Умножим $14$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Этап 2.1.6.7.8

Вычтем $56 f$ из $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.8.1

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.7

Перепишем $- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ в виде $- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Этап 2.1.6.8.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.4

Перепишем ${(8 f - 1)}^{2}$ в виде $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.5

Развернем $(8 f - 1) (8 f - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.9.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.9.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.9.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.1.2

Умножим $f$ на $f$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.9.1.6.1.2.1

Перенесем $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.1.2.2

Умножим $f$ на $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.6.2

Вычтем $8 f$ из $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.7

Умножим $14$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.1.8

Вычтем $56 f$ из $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.2

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.8

Перепишем $- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ в виде $- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Этап 2.1.6.9.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.6.10

Объединим решения.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.1.7

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Этап 2.2

Так как уравнение не линейное, то угловой коэффициент в виде константы не существует.

Не является линейным

Этап 3

Проведем пунктирную линию, затем затушуем область ниже линии границы, так как $y$ меньше $- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$ .

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Этап 4