Алгебра Примеры

$x^{4} - 16 x^{2} = x^{2} + 18$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 16 x^{2} - x^{2} = 18$

Этап 1.2

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - 16 x^{2} - x^{2} - 18 = 0$

Этап 2

Вычтем $x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$x^{4} - 17 x^{2} - 18 = 0$

Этап 3

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 17 u - 18 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 4

Разложим $u^{2} - 17 u - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $- 17$ .

$- 18, 1$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 18) (u + 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 18 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $u - 18$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $u - 18$ к $0$ .

$u - 18 = 0$

Этап 6.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$u = 18$

Этап 7

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 18) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 18, - 1$

Этап 9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 18$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Этап 10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 18$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{18}$

Этап 11.2

Упростим $\pm \sqrt{18}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$x = \pm \sqrt{9 (2)}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 3 \sqrt{2}$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 \sqrt{2}$

Этап 11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 \sqrt{2}$

Этап 11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}$

Этап 12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Этап 13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 1$

Этап 13.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 13.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 14

Решением $x^{4} - 17 x^{2} - 18 = 0$ является $x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, i, - i$ .

$x = 3 \sqrt{2}, - 3 \sqrt{2}, i, - i$