Алгебра Примеры

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ в виде уравнения.

$y = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = {(3 y)}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде ${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $- \frac{2}{5}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

${(3 y)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.4

Сократим общий множитель.

${(3 y)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.2.5

Перепишем это выражение.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot - 2} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

${(3 y)}^{- - 1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.1.1.2

Упростим.

$3 y = x^{- \frac{2}{5}}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$

Этап 3.4

Разделим каждый член $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.4.3.2

Объединим.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Этап 3.4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Умножим $1$ на $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Этап 3.4.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ обратной к $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Этап 5.2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.2.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- 1}}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 x})}$

Этап 5.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 x}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Этап 5.2.4.2

Сократим выражение $\frac{3}{3 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Этап 5.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.2.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = 1 x$

Этап 5.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Этап 5.3.4

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Этап 5.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 5.3.5.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 5.3.5.3.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ — обратная к $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$