Алгебра Примеры

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Этап 1

Изменим порядок $3$ и $- x$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

Этап 3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Этап 4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

Этап 4.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

Этап 4.1.5

Умножим $\frac{x^{2}}{- x + 3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

Этап 4.1.6

Перенесем $4$ влево от $- x + 3$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

Этап 6

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

Этап 7

Упростим $e^{0} (4 (- x + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

Этап 7.1.2

Умножим $4 (- x + 3)$ на $1$ .

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

Этап 7.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

Этап 7.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x^{2} = - 4 x + 12$

Этап 8

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 4 x = 12$

Этап 9

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 12$

Этап 9.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Этап 9.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 12$

Этап 10

Упростим $x (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Этап 10.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

Этап 10.2.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 4 x = 12$

Этап 11

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Этап 12

Разложим $x^{2} + 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $4$ .

$- 2, 6$

Этап 12.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Этап 13

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 14

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 14.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 15

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 15.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 16

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 2, - 6$

Этап 17

Исключим решения, которые не делают $2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ истинным.

$x = 2$