Алгебра Примеры

$(x^{3} + x^{2} - x - 1) \div (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x^{3} + x^{2}) - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x^{2} (x + 1) - (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{1} (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.5.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Этап 3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Разделим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1$