Алгебра Примеры

${(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} i)}^{2}$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $i$ .

${(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$

Этап 1.2

Перепишем ${(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})}^{2}$ в виде $(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ .

$(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Этап 2

Развернем $(\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{4} (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2}) + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} (\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2})$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.1.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.2

Умножим $\frac{5}{4} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 (\sqrt{5} i)}{4 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 (\sqrt{5} i)}{8} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.3

Умножим $\frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ на $\frac{5}{4}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i \cdot 5}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i \cdot 5}{8} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.4

Перенесем $5$ влево от $\sqrt{5} i$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$

Этап 3.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{5} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ на $\frac{\sqrt{5} i}{2}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{\sqrt{5} i (\sqrt{5} i)}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5} i i}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1} i i}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1} i i}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i i}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.7

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.5.10

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{\sqrt{5}}^{2} i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5^{1} i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 i^{2}}{4}$

Этап 3.1.6.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \cdot - 1}{4}$

Этап 3.1.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{- 5}{4}$

Этап 3.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{25}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} - \frac{5}{4}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{5}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 3.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{25}{16} - \frac{5 \cdot 4}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25 - 5 \cdot 4}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\frac{25 - 20}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 3.5.2

Вычтем $20$ из $25$ .

$\frac{5}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8} + \frac{5 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{16} + \frac{10 \sqrt{5} i}{8}$

Этап 4

Сократим общий множитель $10$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \sqrt{5} i$ .

$\frac{5}{16} + \frac{2 (5 \sqrt{5} i)}{8}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{5}{16} + \frac{2 (5 \sqrt{5} i)}{2 (4)}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{16} + \frac{2 (5 \sqrt{5} i)}{2 \cdot 4}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{16} + \frac{5 \sqrt{5} i}{4}$