Алгебра Примеры

$x^{5} - x$ , $x^{5} - x^{2}$ , $x^{5} - x^{3}$

Этап 1

Разложим $x^{5} - x$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x \cdot - 1$ .

$x (x^{4} - 1)$

Этап 1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 1)$

Этап 1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 1^{2})$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1))$

Этап 1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}))$

Этап 1.5.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 1.5.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))$

Этап 1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Этап 2

Разложим $x^{5} - x^{2}$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - x^{2}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 1$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 1)$

Этап 2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} - 1^{3})$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))$

Этап 2.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} + x + 1))$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Этап 3

Разложим $x^{5} - x^{3}$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} - x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - x^{3}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$ .

$x^{3} (x^{2} - 1)$

Этап 3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 1^{2})$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$x^{3} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (x + 1) (x - 1)$

Этап 4

Поскольку $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1), x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{3} (x + 1) (x - 1)$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1), x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1), x^{3} (x + 1) (x - 1)$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x^{2} + 1, x + 1, x - 1, x - 1, x^{2} + x + 1, x + 1, x - 1$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 5

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 7

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 9

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 10

Множители $x^{3}$ — $x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $3$ раз.

Этап 11

НОК $x^{1}, x^{2}, x^{3}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x$

Этап 12

Упростим $x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Этап 12.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Этап 12.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1}$

Этап 12.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3}$

Этап 13

Множителем $x^{2} + 1$ является само значение $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 14

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 15

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 16

Множителем $x^{2} + x + 1$ является само значение $x^{2} + x + 1$ .

$(x^{2} + x + 1) = x^{2} + x + 1$

$(x^{2} + x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 17

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 18

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 19

НОК $x^{2} + 1, x + 1, x - 1, x - 1, x^{2} + x + 1, x + 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Этап 20

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x^{3} (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)$