Алгебра Примеры

$\frac{1}{\log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{\log_{2} (30)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)}$ .

$\frac{1}{\log_{2} (30)} \cdot \frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{\log_{3} (30)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)}$ .

$\frac{1}{\log_{2} (30)} \cdot \frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\log_{2} (30) \log_{3} (30)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\log_{2} (30)}$ на $\frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\log_{3} (30)}$ на $\frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{\log_{2} (30)}{\log_{3} (30) \log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\log_{3} (30) \log_{2} (30)$ .

$\frac{\log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 5

Чтобы записать $\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Этап 6

Чтобы записать $\frac{1}{\log_{5} (30)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$

Этап 7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ на $\frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)}$ .

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{1}{\log_{5} (30)}$ на $\frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ .

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)} + \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{5} (30) (\log_{2} (30) \log_{3} (30))}$

Этап 7.3

Изменим порядок множителей в $\log_{5} (30) (\log_{2} (30) \log_{3} (30))$ .

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)} + \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\log_{3} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\log_{3} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.2

Перепишем $\log_{5} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (30)}{\log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.3

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (3)}$ на $\frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (30) \log (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.3.2

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.3.3

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.4

Перепишем $\log_{2} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.4.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.5

Перепишем $\log_{5} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.6

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (2)}$ на $\frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30) \log (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.6.2

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.6.3

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.7

Перепишем $\log_{2} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.7.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.8

Перепишем $\log_{3} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.8.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.9

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (2)}$ на $\frac{\log (30)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.9.2

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.9.3

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.10

Чтобы записать $\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.11

Чтобы записать $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (3)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} \cdot \frac{\log (3)}{\log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\log (3) \log (5) \log (2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.12.1

Умножим $\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)}$ на $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (3) \log (5) \log (2)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} \cdot \frac{\log (3)}{\log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.12.2

Умножим $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)}$ на $\frac{\log (3)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (3) \log (5) \log (2)} + \frac{\log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (5) \log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.12.3

Изменим порядок множителей в $\log (3) \log (5) \log (2)$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (5) \log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.12.4

Изменим порядок множителей в $\log (2) \log (5) \log (3)$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.14

Чтобы записать $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.15

Умножим $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}$ на $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 10.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $\log_{2} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 11.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Этап 11.2

Перепишем $\log_{3} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (30)}$

Этап 11.2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{5} (30)}$

Этап 11.3

Перепишем $\log_{5} (30)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Этап 11.3.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

Этап 11.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $\frac{\log (30)}{\log (2)}$ на $\frac{\log (30)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Этап 11.4.2

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Этап 11.4.3

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Этап 11.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Этап 11.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Этап 11.4.6

Умножим $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}$ на $\frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{2} (30) \log (30)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Этап 11.4.7

Умножим $\log^{2} (30)$ на $\log (30)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.7.1

Умножим $\log^{2} (30)$ на $\log (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.7.1.1

Возведем $\log (30)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{2} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Этап 11.4.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{{\log (30)}^{2 + 1}}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Этап 11.4.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{3} (30)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Этап 12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2) \log (3) \log (5)}{\log^{3} (30)}$

Этап 13

Сократим общий множитель $\log (2) \log (3) \log (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2) \log (3) \log (5)}{\log^{3} (30)}$

Этап 13.2

Перепишем это выражение.

$(\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 14

Применим свойство дистрибутивности.

$\log^{2} (30) \log (2) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель $\log^{2} (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вынесем множитель $\log^{2} (30)$ из $\log^{2} (30) \log (2)$ .

$\log^{2} (30) (\log (2)) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.1.2

Вынесем множитель $\log^{2} (30)$ из $\log^{3} (30)$ .

$\log^{2} (30) (\log (2)) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.1.3

Сократим общий множитель.

$\log^{2} (30) \log (2) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.1.4

Перепишем это выражение.

$\log (2) \frac{1}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.2

Объединим $\log (2)$ и $\frac{1}{\log (30)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.3

Сократим общий множитель $\log^{2} (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Вынесем множитель $\log^{2} (30)$ из $\log^{2} (30) \log (3)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (3)) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.3.2

Вынесем множитель $\log^{2} (30)$ из $\log^{3} (30)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (3)) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log (3) \frac{1}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.4

Объединим $\log (3)$ и $\frac{1}{\log (30)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.5

Сократим общий множитель $\log^{2} (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Вынесем множитель $\log^{2} (30)$ из $\log^{2} (30) \log (5)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (5)) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Этап 15.5.2

Вынесем множитель $\log^{2} (30)$ из $\log^{3} (30)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (5)) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)}$

Этап 15.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)}$

Этап 15.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log (5) \frac{1}{\log (30)}$

Этап 15.6

Объединим $\log (5)$ и $\frac{1}{\log (30)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \frac{\log (5)}{\log (30)}$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (2) + \log (3) + \log (5)}{\log (30)}$

Этап 17

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (2 \cdot 3) + \log (5)}{\log (30)}$

Этап 18

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (2 \cdot 3 \cdot 5)}{\log (30)}$

Этап 19

Умножим $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\log (6 \cdot 5)}{\log (30)}$

Этап 19.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{\log (30)}{\log (30)}$

Этап 20

Сократим общий множитель $\log (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (30)}{\log (30)}$

Этап 20.2

Перепишем это выражение.

$1$