Алгебра Примеры

$\log_{2} (3 x^{2} - 3) - \log_{2} (2 x + 2) = 4$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 2}) = 4$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 2}) = 4$

Этап 1.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 2}) = 4$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Этап 1.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 2}) = 4$

Этап 1.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2}) = 4$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (1)}) = 4$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (1)$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Этап 1.3.2

Сократим выражение $\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{3 (x - 1)}{2}) = 4$

Этап 1.4

Перепишем $\frac{3 (x - 1)}{2}$ в виде $3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}) = 4$

Этап 1.5

Перепишем $\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1})$ в виде $\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1}) = 4$

Этап 1.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{2} (3 (x - 1)) - \log_{2} (2) = 4$

Этап 1.7

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 \cdot 1 = 4$

Этап 1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 = 4$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (3 x + 3 \cdot - 1) - 1 = 4$

Этап 1.9.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) - 1 = 4$

Этап 2

Перенесем все члены без $\log_{2} (3 x - 3)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\log_{2} (3 x - 3) = 4 + 1$

Этап 2.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) = 5$

Этап 3

Перепишем $\log_{2} (3 x - 3) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 3 x - 3$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3 x - 3 = 2^{5}$ .

$3 x - 3 = 2^{5}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$3 x - 3 = 32$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 32 + 3$

Этап 4.3.2

Добавим $32$ и $3$ .

$3 x = 35$

Этап 4.4

Разделим каждый член $3 x = 35$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $3 x = 35$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{35}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{35}{3}$

Десятичная форма:

$x = 11.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = 11 \frac{2}{3}$