Алгебра Примеры

$x^{2} - a x - b x + a b = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - a - b$ и $c = a b$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- a - b) \pm \sqrt{{(- a - b)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (a b))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{{(- a - b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{1 a + b \pm \sqrt{{(- a - b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $a$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{{(- a - b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Умножим $- - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{a + 1 b \pm \sqrt{{(- a - b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.2

Умножим $b$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{{(- a - b)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Перепишем ${(- a - b)}^{2}$ в виде $(- a - b) (- a - b)$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{(- a - b) (- a - b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Развернем $(- a - b) (- a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{- a (- a - b) - b (- a - b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{- a (- a) - a (- b) - b (- a - b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{- a (- a) - a (- b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - a (- b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.2.1

Перенесем $a$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - a (- b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 a^{2}) - a (- b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{1 a^{2} - a (- b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.4

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} - a (- b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} - 1 \cdot (- 1 a b) - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + 1 a b - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.7

Умножим $a$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b - b (- a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b - 1 \cdot (- 1 b a) - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + 1 b a - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.10

Умножим $b$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + b a - b (- b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + b a - 1 \cdot (- 1 b \cdot b) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.12

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.12.1

Перенесем $b$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + b a - 1 \cdot (- 1 (b \cdot b)) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.12.2

Умножим $b$ на $b$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + b a - 1 \cdot (- 1 b^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + b a + 1 b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.14

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + b a + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + a b + a b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 \cdot (a b)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вычтем $4 a b$ из $2 a b$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Переставляем члены.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} - 2 a b + b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

Этап 3.1.9.3

Перепишем многочлен.

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = b$ .

$x = \frac{a + b \pm \sqrt{{(a - b)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{a + b \pm (a - b)}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{a + b \pm (a - b)}{2}$

Этап 4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = a$

$x = b$