Алгебра Примеры

$\log_{2} (3 x^{2} + 4) - \log_{2} (2 x + 6) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} + 4}{2 x + 6}) = 3$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} + 4}{2 (x) + 6}) = 3$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} + 4}{2 x + 2 \cdot 3}) = 3$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} + 4}{2 (x + 3)}) = 3$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (\frac{3 x^{2} + 4}{2 (x + 3)}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{3 x^{2} + 4}{2 (x + 3)}$

Этап 3

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$3 x^{2} + 4 = 2^{3} (2 (x + 3))$

Этап 4

Упростим $2^{3} (2 (x + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2^{3}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем $2$ .

$3 x^{2} + 4 = 2 \cdot 2^{3} (x + 3)$

Этап 4.1.2

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + 4 = 2^{1} \cdot 2^{3} (x + 3)$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} + 4 = 2^{1 + 3} (x + 3)$

Этап 4.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$3 x^{2} + 4 = 2^{4} (x + 3)$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$3 x^{2} + 4 = 16 (x + 3)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 4 = 16 x + 16 \cdot 3$

Этап 4.4

Умножим $16$ на $3$ .

$3 x^{2} + 4 = 16 x + 48$

Этап 5

Вычтем $16 x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 4 - 16 x = 48$

Этап 6

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 16 x = 48 - 4$

Этап 6.2

Вычтем $4$ из $48$ .

$3 x^{2} - 16 x = 44$

Этап 7

Вычтем $44$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 16 x - 44 = 0$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 44 = - 132$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 44 = 0$

Этап 8.1.2

Запишем $- 16$ как $6$ плюс $- 22$

$3 x^{2} + (6 - 22) x - 44 = 0$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x - 22 x - 44 = 0$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 6 x) - 22 x - 44 = 0$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x + 2) - 22 (x + 2) = 0$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$(x + 2) (3 x - 22) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$3 x - 22 = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 11

Приравняем $3 x - 22$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $3 x - 22$ к $0$ .

$3 x - 22 = 0$

Этап 11.2

Решим $3 x - 22 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $22$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 22$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $3 x = 22$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 22$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{22}{3}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{22}{3}$

Этап 11.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{22}{3}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (3 x - 22) = 0$ верно.

$x = - 2, \frac{22}{3}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 2, \frac{22}{3}$

Десятичная форма:

$x = - 2, 7.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = - 2, 7 \frac{1}{3}$