Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 3

Развернем $(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{10} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{10 \cdot 5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.2

Умножим $10$ на $5$ .

$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.3

Перепишем $50$ в виде $5^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$\frac{\sqrt{25 (2)} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.3.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 2} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.5

Умножим $\sqrt{10} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{10 \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.5.2

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{20} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.6

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{2} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.9

Умножим $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.10

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.10.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{1} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.10.5

Найдем экспоненту.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.11

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Этап 4.12

Умножим $- \sqrt{5} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + 1 \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Этап 4.12.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Этап 4.12.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{5 \cdot 2}}{3}$

Этап 4.12.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{10}}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{10}}{3}$

Десятичная форма:

$0.25373650 \dots$