Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} + 6 x} = x + \sqrt{2 x}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{2} + 6 x}}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 6 x}$ в виде ${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 6 x)}^{1} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} + 6 x = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ в виде $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ .

$x^{2} + 6 x = (x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 6 x = x (x + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Возведем $\sqrt{2 x}$ в степень $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{2 x}}^{2}$ в виде $2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{1}$

Этап 2.3.1.3.1.3.5

Упростим.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + 2 x$

Этап 2.3.1.3.2

Изменим порядок множителей в $\sqrt{2 x} x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + x \sqrt{2 x} + 2 x$

Этап 2.3.1.3.3

Добавим $x \sqrt{2 x}$ и $x \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x$

Этап 3

Решим относительно $2 x \sqrt{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $2 x \sqrt{2 x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x - x^{2}$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x \sqrt{2 x} = x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x + 0 - 2 x$

Этап 3.2.3.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x - 2 x$

Этап 3.2.4

Вычтем $2 x$ из $6 x$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 4 x$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 x \sqrt{2 x})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

${(2 x (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

${(2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2^{1 + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(2^{\frac{2 + 1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.4.5

Добавим $1$ и $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим правило умножения к $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{3} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.8.2.1

Сократим общий множитель.

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.2.1.8.2.2

Перепишем это выражение.

$8 x^{3} = {(4 x)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(4 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $4 x$ .

$8 x^{3} = 4^{2} x^{2}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$8 x^{3} = 16 x^{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $16 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} - 16 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $8 x^{3} - 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $8 x^{3}$ .

$8 x^{2} (x) - 16 x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2) = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $8 x^{2}$ из $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2)$ .

$8 x^{2} (x - 2) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x^{2} (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, 2$