Алгебра Примеры

$16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8} = {(\frac{1}{32})}^{2 y - 3}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 2

Перепишем $\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8})$ в виде $\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8})$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{1}{8})$ в виде $\ln (1) - \ln (8)$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 4

Развернем $\ln (16^{- 3 y})$ , вынося $- 3 y$ из логарифма.

$- 3 y \ln (16) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 6

Перепишем $\ln (8)$ в виде $\ln (2^{3})$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (2^{3}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 7

Развернем $\ln (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$- 3 y \ln (16) + 0 - (3 \ln (2)) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 9

Вычтем $3 \ln (2)$ из $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Этап 10

Развернем $\ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$ , вынося $2 y - 3$ из логарифма.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) \ln (\frac{1}{32})$

Этап 11

Перепишем $\ln (\frac{1}{32})$ в виде $\ln (1) - \ln (32)$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (\ln (1) - \ln (32))$

Этап 12

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (32))$

Этап 13

Перепишем $\ln (32)$ в виде $\ln (2^{5})$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (2^{5}))$

Этап 14

Развернем $\ln (2^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - (5 \ln (2)))$

Этап 15

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - 5 \ln (2))$

Этап 16

Вычтем $5 \ln (2)$ из $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (- 5 \ln (2))$

Этап 17

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = 2 y (- 5 \ln (2)) - 3 (- 5 \ln (2))$

Этап 17.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) - 3 (- 5 \ln (2))$

Этап 17.1.2.2

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Этап 17.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим $- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1.1

Упростим $- 3 \ln (16)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y (- \ln (16^{3})) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Этап 17.2.1.1.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$y (- \ln (4096)) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Этап 17.2.1.1.3

Упростим $- 3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y (- \ln (4096)) - \ln (2^{3}) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Этап 17.2.1.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$y (- \ln (4096)) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Этап 17.2.1.2

Изменим порядок множителей в $y (- \ln (4096)) - \ln (8)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Этап 17.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Упростим $- 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1.1.1

Упростим $- 10 \ln (2)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (2^{10})) + 15 \ln (2)$

Этап 17.3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $10$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + 15 \ln (2)$

Этап 17.3.1.1.3

Упростим $15 \ln (2)$ путем переноса $15$ под логарифм.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (2^{15})$

Этап 17.3.1.1.4

Возведем $2$ в степень $15$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$

Этап 17.3.1.2

Изменим порядок множителей в $y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - y \ln (1024) + \ln (32768)$

Этап 17.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- y \ln (4096) - \ln (8) + y \ln (1024) - \ln (32768) = 0$

Этап 17.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Добавим $\ln (8)$ к обеим частям уравнения.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) - \ln (32768) = \ln (8)$

Этап 17.5.2

Добавим $\ln (32768)$ к обеим частям уравнения.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Этап 17.6

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (4096) + y \ln (1024)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.6.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln (4096)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Этап 17.6.2

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (1024)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Этап 17.6.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024))$ .

$y (- 1 \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Этап 17.7

Перепишем $- 1 \ln (4096)$ в виде $- \ln (4096)$ .

$y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Этап 17.8

Разделим каждый член $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ на $- \ln (4096) + \ln (1024)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.8.1

Разделим каждый член $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ на $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Этап 17.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.8.2.1

Сократим общий множитель $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Этап 17.8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Этап 17.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Этап 17.8.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (4096)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Этап 17.8.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (1024)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))}$

Этап 17.8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Этап 17.8.3.5

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.8.3.5.1

Перепишем $- (\ln (4096) - \ln (1024))$ в виде $- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Этап 17.8.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Десятичная форма:

$y = - 9.000000000000 \dots$